Démonstrations et infiniment petits dans la Quadratura arithmetica de Leibniz / Proofs and infinitesimals in Leibniz's Quadratura arithmetica

Résumé En Fr

SUMMARY. — In his Quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae cujus corollarium est trigonometria sine tabulis, whose text, long believed lost, Eberhard Knobloch reconstituted, Leibniz opened up the field of a new transcendental geometry. He corrected and claimed to demonstrate rigorously the « method of indivisibles », and he showed that the indirect method of quadratures, based on a proof by reductio ad absurdum, and the direct method, based on infinitesimally small quantities, are equivalent. This equivalence soundly vindicated the differential calculus that Leibniz was developing during the same period. At the same time, however, this equivalence must also be linked to the philosophical justification of the theory of « expression ».

RÉSUMÉ. — Dans sa Quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae cujus corollarium est trigonometria sine tabulis (dont Eberhard Knobloch a reconstitué le texte qu'on croyait perdu), Leibniz ouvre l'horizon d'une nouvelle géométrie transcendante, en corrigeant et en prétendant démontrer rigoureusement la « méthode des indivisibles », et en montrant l'équivalence entre une méthode de calcul des quadratures indirecte (fondée sur un raisonnement par l'absurde) et une méthode directe utilisant les infiniment petits. C'est dans cette équivalence qu'on doit chercher une des plus solides justifications du calcul différentiel que Leibniz est en train d'élaborer à la même époque. Mais cette équivalence doit également être rattachée à l'élaboration philosophique de la théorie de l'expression.