Invariant Subspaces: An Alternative for Introducing Eigenvectors and Eigenvalues

Résumé En Fr

The concepts of eigenvalue and eigenvector are typically approached algorithmically in introductory linear algebra courses. However, a more conceptual orientation involves connecting these notions to the concept of one-dimensional invariant subspace, which allows for the introduction of eigenvectors prior to eigenvalues. In this study, we present data collected from interviews with two linear algebra instructors as they worked with a specific linear transformation in both paper-and-pencil and dynamic geometry environments. The data were analyzed using the perspectives of APOS theory and the theory of Mathematical Working Spaces in a complementary manner. The results indicate that dynamic representations facilitate the establishment of relationships between eigenvectors, eigenvalues, and invariant subspaces. This approach proves to have potential for developing a deeper understanding of the related concepts.

Les concepts de valeur propre et de vecteur propre sont généralement abordés de manière algorithmique dans les cours d'algèbre linéaire de niveau introductif. Cependant, une orientation plus conceptuelle consiste à relier ces notions au concept de sous-espace invariant unidimensionnel, ce qui permet d'introduire les vecteurs propres avant les valeurs propres. Dans cette étude, nous présentons des données collectées lors d’entretiens avec deux enseignants d’algèbre linéaire qui ont travaillé avec une transformation linéaire spécifique dans des environnements tant papier-crayon que de géométrie dynamique. Les données ont été analysées en utilisant les perspectives de la théorie APOS et de la théorie des espaces de travail mathématique de manière complémentaire. Les résultats indiquent que les représentations dynamiques facilitent l'établissement de relations entre les vecteurs propres, les valeurs propres et les sous-espaces invariants. Cette approche a le potentiel de développer une compréhension plus approfondie des concepts liés.