L’indéfini dans les « Traités de la roulette » de Pascal, son ontologie, ses sources et sa postérité

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L’expression « nombre indéfini » pour une division en parties égales d’une courbe comme la roulette permettant une sommation est fréquente dans le livre de Blaise Pascal, les Lettres de A. Dettonville de 1658-1659, accompagnée explicitement d’une hypothèse, un « étant donné » qui est la connaissance du rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre. C’est un ajout qui ouvre la voie à de possibles rectifications, sinon à toutes. Les exégètes se sont peu exercés sur la signification de cet indéfini qui a en partie sa source chez Roberval comme nous allons le montrer, et comporte des aspects ontologiques ; il a fait chez Leibniz l’objet d’un célèbre récit d’initiation qui chez quelques commentateurs du corpus pascalien a porté bien trop loin dans l’invention du Calcul. Même en les utilisant, je n’en force pas moins les mots en liant à l’expression d’intégrale indéfinie, absente chez Pascal, mais le jeu est intéressant. Elle trouve sa lointaine source dans le logarithme sous la forme inventée par Grégoire de Saint-Vincent, et la liaison par un même mot permet d’envisager la sommation comme une fonction, la valeur par exemple de la longueur d’un arc quelconque de roulette. Elle est trouvée par le tout jeune Christopher Wren en plein déroulement du défi de Pascal, ce qui a contraint ce dernier à modifier les questions posées. Il fallait beaucoup plus que la connaissance du nombre π, une connaissance qui n’implique rien de numérique, mais un classement dans les choses disponibles pour faire des mathématiques et aller jusqu’à celle de la longueur de tout arc de cercle ; elle est précisément une fonction, sans ce nom, où l’indéfini est celui de la variable comme l’indéfini des divisions égales est dans le nombre de celles-ci. La roulette devint la courbe prétexte du défi de Pascal dont le travail réussi la dépasse. Me fixant sur le mot indéfini, cherchant des sources, j’interroge Pascal au cœur de son dispositif d’hypothèses nécessaires à la poursuite des mathématiques. Loin du nombre indéfini d’une division réduit à une simple astuce de redressement de la méthode des indivisibles, il entrait avec l’intégrale curviligne sur le nouveau terrain de l’intégration qui donne des équivalences et des formules, mais sans en avoir, ni même prévoir, l’algorithme.

The expression “indefinite number” for the division into equal parts of a curve like a roulette is frequent in the book by Pascal, the Lettres de A. Dettonville of 1658–1659, accompanied explicitly by a hypothesis, a “given” which is the knowledge of the ratio from the perimeter of a circle to its diameter. The rectification of a circle opens the path to possible rectifications, if not all rectifications. Exegetes have not seriously exercised themselves on the meaning of this indefinite which has its source in part in Roberval as we will show; it was for Leibniz the subject of an initiation story, that went too far by certain commentators. Even by going through a few comments on the Pascalian corpus, I force words by linking to the expression of indefinite integral, certainly absent from Pascal, but it is worth to play this game. The latter finds its source in the logarithm as expressed by Grégoire de Saint-Vincent. This connection makes it possible to consider the summation as a function, the value for example of the length of any arc of roulette found by the very young Christopher Wren after the first publicity given to the Pascal’s challenge, and which forced him to modify the questions he asked. It therefore required much more than the knowledge of the number π, and a knowledge which does not imply anything numerical, but a classification of the things available to do mathematics and to go as far as that of the length of any arc of a circle. It is precisely a function, without the name, where the indefinite is that of the variable, as the indefinite of equal divisions is in the number of these. The roulette is indeed the curve pretext for Pascal’s challenge and his successful work goes far beyond it. Fixing myself on the word indefinite, looking for sources, I question Pascal at the heart of his device of hypotheses necessary for the pursuit of mathematics. It went so far from the indefinite number of a division reduced to a simple trick of straightening the indivisibles so to enter with curvilinear integrals in the new terrain of integration that provides equivalences and formulae, but without any algorithm for it.