Les lois de Pareto et Lévy, leur cas particulier : la loi rang-fréquence de G.K. Zipf

Résumé En Fr

A family of statistical laws, the first of which was discovered in 1896 by Vilfredo Pareto in relation to the distribution of incomes, is as universal and as general as the “ normal law” : these are the laws expressed by “ power functions”. They are relevant in various domains such as urban Geography, the distribution of wealth and incomes (in Economics), physical Geography, Granulometry, Financial Mathematics, and Lexicology, where they are known as the Zipf and Estoup laws, or — in their most general form — as the Mandelbrot law. They are characterized by the fact that very large values of the variable are not unlikely ; hence, in general, the variance of a distribution is infinite, and possibly also its mean : the last case is frequent in Lexicology. Therefore they must be handled with care, notably when interpreting their application to empirical data. Due to the universality of these laws, there exists a great number of “ mathematical models” that can explain them. These range from absolutely deterministic mechanisms to pure probabilistic theories : Paul Lévy stable laws.

Une famille de lois statistiques, dont la première fut découverte en 1896 par Vilfredo Pareto à propos de la distribution des revenus, est aussi universelle et générale que la «loi normale » : ce sont les lois en «fonction puissance » . On les trouve en effet dans des domaines aussi variés que la géographie urbaine, la répartition des richesses et des revenus (en économie), la géographie physique, la granulométrie, les mathématiques financières, etc. et la lexicologie, où elles sont connues sous les noms de lois de Zipf et d’Estoup ou encore — dans leur forme la plus générale — de B. Mandelbrot. Ce qui les caractérise, c’est que les très grandes valeurs n’y sont pas rares ; il en résulte qu’elles n’ont en général pas de variance et parfois pas de moyenne : ce dernier cas est fréquent en lexicologie. Par conséquent leur maniement nécessite quelques précautions, de même que l’interprétation des ajustements à des données empiriques. De l’universalité de ces lois résulte une grande variété des «modèles mathématiques » permettant de les engendrer. Ceux-ci vont de mécanismes totalement déterministes à des théories purement probabilistes : les lois stables de Paul Lévy.