Propriétés spectrales des opérateurs de composition et opérateurs de Hankel Spectral properties of the composition operators and Hankel operators Fr En

Abstract Fr En

Dans cette thèse nous nous intéressons aux opérateurs de composition sur les espaces de Hardy et Dirichlet et aux opérateurs de Hankel sur les espaces des fonction polyanalytiques. On s’'intéresse à l’'opérateur de composition sur les espaces de Dirichlet : $mathcal{D}_alpha=\left{f \in Hol(D): |f|_alpha^{2}=| f(0)| ^{2}+int_{D}| f'(z)| ^{2}dA_alpha(z)<infty \right}.$ La fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée à l'espace de Dirichlet $\mathcal{D}_\alpha$ est donnée par:$$ N_{\varphi,\alpha}(z):=\sum_{z=\varphi(w),{w\in\D}}(1-|w| )^\alpha,\qquad z\in\D.$$Nous étudions dans la première partie de ce travail la relation entre la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée à $\varphi$ et la norme de ses ses puissances sur les espaces de Dirichlet. Nous aussi des examples d’'opérateurs de composition de Hilbert-Schmidt sur les espaces de Dirichlet. Nous étudions aussi l’'appartenance de $C_\varphi$ à la classe de Schatten en termes de la taille de l’ensemble de niveau et la norme de $\varphi^n$. Dans la deuxième partie nous considérons l’'espace de Fock-Bargmann des fonctions polyanalytiques, $f in F^n(mathbb{C})$. Nous montrons que si $f (z) = z^k\overline{z}^l$ avec $k, l \in \mathbb{N},$, alors l’'opérateur de Hankel $ H_{f}$ est borné sur $F^n(\mathbb{C})$ si et seulement si $\sup_{m,j}\|H_{f}e_{j, m}\|_{F^n(\mathbb{C})} < +\infty$.On montre aussi que si $f$ une fonction entière sur $\mathbb{C}$, alors l’'opérateur de Hankel $ H_{\bar f}$ est borné sur $F_n(C)$ si et seulement si f est un polynôme de degré au plus 1, et l’'opérateur de Hankel $ H_{\bar f}$ est compact sur $F_n(C)$ si et seulement si f est un polynôme constant.

In this thesis we focus on the composition operators on Hardy and Dirichlet spaces and Hankel operators on spaces of polyanalytiques functions. We are interested in the composition operator on the Dirichlet spaces: $$ mathcal{D}_alpha=left{ f in Hol(D): |f|_alpha^{2}=| f(0)|^{2}+int_{D}| f'(z)| ^{2}dA_alpha(z)<infty \right}. $$ The generalized Nevanlinna counting function associated to $ mathcal{D}_alpha $, is given by: $ N_{varphi,alpha}(z)=sum_{z=phi(w),{winD}}(1-|w| )^alpha,qquad zinDsetminus{phi(0)} .$ We study in the first part of this work the relationship between the generalized Nevanlinna counting function associated with $varphi$ and the norms of its iterated in the Dirichlet spaces. We give examples of Hilbert-Schmidt composition operators on the Dirichlet spaces. We study the composition operators on the Dirichlet spaces belong to Schatten class and the link with the size of contact points of its symbol with the unit circle. In the second part we consider the Bargmann-Fock space of polyanalytic functions, $f in F^n(mathbb{C})$. We prove that if $f (z) = z^koverline{z}^l$ with $k, l in mathbb{N},$ then the Hankel operator $ H_{f}$ is bounded on $F^n(mathbb{C})$ if and only if $sup_{m,j}|H_{f}e_{j, m}|_{F^n(mathbb{C})} < +infty$. We also establish that if $f $ an entire function on $mathbb{C}$, then the Hankel operator $ H_{bar f}$ is bounded on $F^n(mathbb{C})$ if and only if $f$ is a polynomial of degree at most $1,$ and the Hankel operator $ H_{bar f}$ is compact on $F^n(mathbb{C})$ if and only if $f$ is a constant polynomial.

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