22 octobre 2019
Open Access , http://purl.org/eprint/accessRights/OpenAccess
François Netillard, « Plongements grossièrement Lipschitz et presque Lipschitz dans les espaces de Banach », Theses.fr, ID : 10670/1.mbwkb5
Le thème central de cette thèse est l'étude de plongements d'espaces métriques dans des espaces de Banach. La première étude concerne les plongements grossièrement Lipschitz entre les espaces de James Jp pour p≻1 et p fini. On obtient que, pour p,q différents, Jq ne se plonge pas grossièrement Lipschitz dans Jp. Nous avons également obtenu, dans le cas où q≺p, une majoration de l'exposant de compression de Jq dans Jp par q/p. La question naturelle qui se pose ensuite est de savoir si le résultat obtenu pour les espaces de James est vrai aussi en ce qui concerne leurs duaux. Nous obtenons que, pour p,q différents, Jp* ne se plonge pas grossièrement lipschitz dans Jq*. Suite à ce travail, on établit des résultats plus généraux sur la non-plongeabilité des espaces de Banach q-AUS dans les espaces de Banach p-AMUC pour p≺q. On en déduit aussi, à l'aide d'un théorème de renormage, un résultat sur les indices de Szlenk. Par ailleurs, on obtient un résultat sur la plongeabilité quasi-Lipschitz dont la définition diffère légèrement de la plongeabilité presque Lipschitz : pour deux espaces de Banach X et Y, si, pour C≻1, X est C-finiment crûment représentable dans tout sous-espace vectoriel de codimension finie de Y, alors tout sous-espace propre M de X se plonge quasi-Lipschitz dans Y. Pour conclure, on obtient le corollaire suivant : soient X et Y deux espaces de Banach tels que X est localement minimal et Y est finiment crûment représentable dans X. Alors, pour M sous-espace propre de Y, M se plonge quasi-Lipschitz dans X.