De quoi les "théorèmes de limitation des formalismes" : théorèmes de Gödel de 1931 et apparentés, sont-ils la limitation? What about the "Theorems of formation limitation" : Gödel's theorems of 1931 and related, are the limitation? Fr En

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15 février 2019

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Argument de Lucas-Penrose Limitation de la connaissance Philosophie de la logique Philosophie des mathématiques Programme de Hilbert Systèmes formels Théorèmes de Gödel Thèse de Church-Turing Godel's theorems Church-Turing's thesis 510 120


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Patrice Pissavin, « De quoi les "théorèmes de limitation des formalismes" : théorèmes de Gödel de 1931 et apparentés, sont-ils la limitation? », Theses.fr, ID : 10670/1.qhj1ue


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Nous cherchons à définir la nature des limitations révélées par les « théorèmes de limitation des formalismes » (Théorèmes de Gödel de 1931, de Church de 1936, et de Turing de 1936-1937). Pour répondre à cette question, nous avons retenu comme fil conducteur Je programme de Hilbert (au sens large) : d'une part la réponse qu'Hilbert espérait apporter au problème des fondements, d'autre part la justification qu'il espérait apporter à l'absence de problèmes mathématiques insolubles. Cela nous a d'abord conduit à proposer une interprétation précise des deux aspects de ce programme. Nous avons ensuite analysé les propositions variées qui ont été faites en réponse à ce programme, incluant en particulier celle de Michael Detlefsen, tout en prenant en compte les résultats d'indécidabilité arithmétiques qui ont été obtenus dans les années 1970. Nous avons pour cela effectué une analyse détaillée de la thèse de Church-Turing. Nous avons également discuté les différentes positions qui ont été défendues dans le cadre du débat induit par l'argument de Lucas-Penrose. Nous avons enfin discuté les réponses que Post, Myhill et Ladrière ont successivement apportées à la question générale posée. Sur la base de l'ensemble de cette analyse, notre propre réponse est que les ces théorèmes mettent en évidence une certaine relativité associée au recours à la formalisation elle-même, qui se caractérise par un ancrage nécessaire bien circonscrit dans la pratique empirique des mathématiques informelles.

We want to define the limitations content revealed by the theorems of formalisms limitation (Godel's theorems of 1931, Church's theorem of 1936 and Turing's theorem of 1936-1937). In order to answer this question, we have accepted as main theme Hilbert' s program (in the broad sense) : on the one hand, the answer that Hilbert hoped to give to foundations problem, and on the other hand, the justification he hoped to give to the lack of insoluble mathematical problems. This first lead us to propose a precise interpretation of the two aspects of this program. We have then analyzed the various proposals which have been given in answer this program, including in particular Michael Detlefsen'one, taking into account arithmetical indecidability results obtained in the 1970's. In this aim we have made a detailed analysis of Church-Turing's thesis. We have also discussed the different positions which have been held within the framework induced by Lucas-Penrose's argument. We have then discussed Post, Myhill and Ladrière's successively answers given to the general question asked. On the basis on this whole analysis, our own answer is that these theorems show a kind of relativity in relation with the use of formalization itself, which must be rooted in a confined part of the empirical practice of informal mathematics.

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