Canonisation géométrique de l'équation d'Abel

Résumé Fr

Dans une précédente étude géométrique de l'équation de Riccati, nous avons été amené à considérer une famille de courbes (Ni), projectivement égales, que nous avons appelées «développantes généralisées» d'une courbe plane. C'est au cours de ces premiers calculs que, modifiant nos hypothèses de base, nous avions associé l'équation d'Abel réduite à une nouvelle famille de courbés planes (N2) : «les développantes orthogonales généralisées », liées par leur génération à la première famille (Ni). Nous avions ainsi montré l'existence d'une origine géométrique pour l'équation d'Abel avec une nouvelle incidence pour l'équation de Riccati. Dans la présente note, nous considérons l'équation d'Abel la plus générale et nous l'associons à des courbes planes des «ultradéveloppantes de première espèce». Partant de là, nous retrouvons, comme cas particulier de ce problème très général, l'équation de Riccati et avec elle les familles de courbes (NJ et (N2). Enfin, il est remarquable de constater que les notions d'isométrie et d'isoradiicité, que nous avions jusque là attachées à l'équation de Riccati, se trouvent également et surtout liées à l'équation d'Abel. Il y a là un nouveau domaine géométrique à exploiter extrêmement fécond, tant pour l'équation de Riccati, que pour ses généralisations ; nous ne pouvons prétendre en avoir sondé toutes les incidences, mais nous pouvons affirmer que les quelques figures, mêmes dégénérées, que nous obtenons, sont une preuve de l'extrême richesse du sujet.