Fourier et la représentation d’une fonction arbitraire par une série trigonométrique

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Dans ce texte fondateur, Fourier pose, à partir d’une solution particulière de l’équation de la chaleur, les fondements de la « transformée de Fourier » d’une fonction, c’est-à-dire sa représentation par une série de fonctions trigonométriques. Ce concept aura de nombreuses applications en physique mathématique (acoustique, traitement du signal, thermodynamique) et en informatique (traitement d’images, ondelettes).L’intérêt de l’extrait choisi par J.-Ph. Villeneuve, et de l’analyse qu’il développe, est de montrer comment Fourier calcule effectivement les coefficients de la série trigonométrique correspondant à la fonction v(x, y) = e-mx cos my, solution particulière de la chaleur.Sur l’ouvrage dans sa globalité, laissons parler H. Poincaré (in Théorie analytique de la propagation de la chaleur, 1895, cité par J. Gabay) : « La théorie de la chaleur de Fourier est un des premiers exemples de l'application de l'analyse à la physique ; en partant d'hypothèses simples qui ne sont autre chose que des faits expérimentaux généralisés, Fourier en a déduit une série de conséquences dont l'ensemble constitue une théorie complète et cohérente. Les résultats qu'il a obtenus sont certes intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l'est plus encore est la méthode qu'il a employée pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la physique mathématique. J'ajouterai que le livre de Fourier a une importance capitale dans l'histoire des mathématiques et que l'analyse pure lui doit peut-être plus encore que l'analyse appliquée. »