Cauchy, une nouvelle conception du calcul intégral

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Dans ses cours à l’École polytechnique, Cauchy donne une définition de l’intégrale comme limite des sommes (dites de Cauchy), qui correspondent aux rectangles situés sous la courbe et qui approchent celle-ci en limite. À l’aide de cette limite de sommes, habilement calculées de plusieurs manières (sommes arithmétiques, géométriques), il retrouve les fonctions primitives d’un certain nombre de fonctions.Mais l’originalité de son approche tient dans tout ce qu’il fait dire à l’intégrale définie : c’est un objet additif, l’inversion de ses bornes inverse son signe, c’est-à-dire un certain nombre de propriétés algébriques de l’intégrale définie. Il définit aussi la famille de primitives d’une fonction continue, à une constante additive près.Il étend aussi sa nouvelle approche aux intégrales à borne (supérieure ou inférieure, ou les deux) infinie, et aux intégrales définies singulières, avec des points de discontinuité (en nombre fini) de la fonction initiale.Riemann ou Lebesgue poursuivront ce type de travaux, et donneront des définitions beaucoup plus générales de la notion d’intégrale. Même si le collectif Bourbaki éreintera plus tard Cauchy (« sa démonstration, qui deviendrait correcte si elle s’appuyait sur le théorème de continuité uniforme des fonctions continues dans un intervalle fermé, est dénuée de toute valeur faute de cette notion » – Bourbaki 1969) : cette appréciation, sévère et juste en toute rigueur mathématique à la lumière de nos connaissances actuelles, ne serait-elle pas néanmoins injuste ? Car Cauchy, dans ses cours des années 1820 – d’ailleurs peu accessibles à ses étudiants ! – changea la façon de concevoir l’intégrale et la théorie de l’intégration.