Liouville, le découvreur des nombres transcendants

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La première phrase du mémoire de Liouville du 13 mai 1844 est en elle-même tout un programme : « Des classes très étendues de quantités dont la valeur n’est ni rationnelle ni même réductible à des irrationnelles algébriques ». Autrement dit l’existence en grande quantité de nombres qui ne sont ni irrationnels ni algébriques (solutions d’une équation algébrique) : Liouville est le premier à avoir cette idée ; il explique même comment construire un nombre non algébrique. C’est la découverte des nombres non algébriques, qui seront désignés comme nombres de Liouville avant d’être appelés nombres transcendants. Liouville examine la décomposition en fraction continue d’un nombre x solution d’une équation algébrique. Il démontre simplement que le dénominateur du « quotient incomplet » (développement en fraction continue arrêté à un stade donné) du nombre algébrique x est borné par une formule donnée. Il construit ensuite des nombres dont le développement en fraction continue ne respecte pas cette formule : ils sont donc non algébriques. Par la suite, le mathématicien français Hermite démontra le caractère transcendant de e (1873), et le mathématicien allemand Lindemann celle de π (1882).