Dimensions fractales de réseaux vectoriels : méthodes d’estimation et robustesse des résultats

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L’analyse fractale des réseaux hydrographiques a donné lieu à de nombreux travaux (Tarboton et al., 1988 ; Rodriguez-Iturbe et Rinaldo, 1997 ; Hauchard et al., 1999 ; Forriez et al., 2010), alors même que les valeurs du principal indicateur fractal – la dimension fractale – n’ont que rarement alimenté des comparaisons selon leur mode d’obtention ou des discussions sur l’incertitude qui les caractérise. Les réseaux hydrographiques sont un cas particulier, relativement simple, de la grande famille des réseaux de transport qui de Hagget et Chorley (1969) à Strano et al. (2012) ont suscité réflexion théorique et applications en géographie prospective et aménagement (Dupuy, 1991 ; Frankhauser et Genre-Grandpierre, 1998 ; Porta et al., 2006). Nous nous intéressons ici aux réseaux vectoriels, typiquement des réseaux construits comme assemblage déterministe ou aléatoire de segments unitaires (fig. 2) ou des réseaux extraits à partir de modèles numériques de terrain de type raster avec une taille de cellule fixée (fig. 4, fig. 7), au-dessous de laquelle il n’existe plus de données informatives. Nous nous focalisons sur les méthodes d’estimation de dimensions fractales, qui soient, autant que faire se peut, dans le droit fil des méthodes mathématiques de calcul d’une dimension asymptotique et privilégions une analyse de type monofractal.Partant, d’une part, de la distinction entre fractale mathématique infinie et fractale de la nature, d’autre part, du rappel des différentes dimensions théoriques (asymptotiques) auxquelles se rattachent les dimensions empiriques que nous utilisons, nous mettons ici l’accent sur trois résultats méthodologiques. Le premier, l’apport des réseaux simulés – dont le mode de construction est connu –, permet d’apprécier la pertinence des divers estimateurs selon les caractéristiques des réseaux (leur ramification, leur degré de hiérarchisation, par exemple) et, au total, autorise une mise en garde vis-à-vis de certaines procédures très répandues – lorsqu’elles sont appliquées à de petits réseaux notamment. Le second concerne la détermination nécessaire à nos yeux d’un domaine de fractalité enserré dans des limites obtenues selon une procédure non subjective, et entre lesquelles est calculée la valeur de l’estimateur fractal (fig. 8 et fig. 11) ; cette procédure exigeante peut conduire à une réduction conséquente de l’intervalle de validité mais est utile pour des comparaisons. Enfin, l’importance de la notion d’instabilité des résultats selon le niveau hiérarchique du réseau (fig. 13, fig. 14, tab. 1), distincte de l’incertitude qui, pour les réseaux aléatoires, a pu être évaluée pour chaque niveau hiérarchique en répétant les mesures un grand nombre de fois (50 et 100 réalisations – réseau de Scheidegger et réseau binaire bruité, respectivement ; tab. 1) est mise en valeur.Les trois estimateurs de dimension fractale que nous comparons sont, l’un, un estimateur traditionnel en hydrographie (DHS) car fondé sur la topologie du réseau, plus particulièrement sur les rapports de Horton-Strahler (Horton, 1945 ; Strahler, 1957) ; les autres, la dimension obtenue par comptage de boîtes (DB) et la dimension de corrélation (DC). Le cas d’un réseau de talwegs extrait à partir de MNT semble montrer que les résultats d’estimation les plus stables sont obtenus à partir de cette dernière méthode (tab. 3).

Streams networks are part of transport networks and more generally of “spatial networks” that gave rise to fundamental researches (Barthelemy, 2011) and applied geography (Strano et al., 2012). Numerous studies have focused on fractal analysis of stream networks. However, only few papers compare or discuss the estimation methods and the uncertainty of the main fractal indicator, the fractal dimension. This work focuses on the fractal properties of vector networks both virtual and actual. We first mention the essential distinction between infinite mathematical fractal and nature fractal. Then, we present different theoretical and empirical dimensions that we use. In particular, we compare three fractal dimension estimators: the most classical estimator for stream networks, based on a topological approach with the Horton-Strahler ratios, and two other estimators based on a geometric approach, the box-counting dimension and the correlation dimension. Three main methodological results can be highlighted: 1- the study of virtual network contributes to the assessment of the various estimators’ relevance, according to the characteristics of networks; 2- an empirical fractal domain must be determined with an objective method to estimate fractal dimensions that can be compared; 3- the observation of uncertainty and stability of the fractal dimension is necessary for any valid comparison.