Combining L1 and L2 Norms for a more Robust Spatial Analysis: the "Meadian Attitude"

Résumé En Fr

This paper presents a new way to look for the "center" of a statistical distribution. This concept basically combines the mean and the median, i.e. two L-norms, to define a new metric in order to improve the robustness of efficiency of an estimator. After a short historical presentation of the relationships between the mean and the median in the quest for the "center", we explain the problematic that leads us to propose a new estimator. We define the meadian, a first version of which was set up by Laplace in the early 1800s, and present its asymptotic properties. We justify the choice of bootstrap to compute the variances involved in the meadians definition. Some applications in spatial filtering are presented and discussed. In conclusion, we comment on some further developments and perspectives for the "meadian attitude".

Cet article propose une nouvelle méthode pour trouver le centre d’une distribution statistique. Le concept développé associe la moyenne et la médiane, c’est à dire deux L-normes, dans le but d’améliorer la robustesse d’un estimateur. Après une rapide présentation de la relation qu’entretiennent la moyenne et la médiane dans l’Histoire des Statistiques, nous présentons les besoins concrets qui ont suscité nos recherches et l’élaboration du nouvel estimateur. Nous décrivons la médienne, une combinaison linéaire de la moyenne et de la médiane, présentons ses formulations mathématiques (dont une version qui a été proposée antérieurement par Laplace en 1818) et ses propriétés asymptotiques. Puis, nous justifions le choix du bootstrap pour l’évaluation des variances et détaillons son processus. Des résultats en filtrage spatial sont présentés et discutés. Enfin, nous concluons sur les perspectives du concept d’"attitude médienne".