Pourquoi la loi de Benford n’est pas mystérieuse

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La loi dite de Benford prévoit que le premier chiffre significatif d’un nombre tiré de manière aléatoire suit une loi logarithmique et non, comme on pourrait s’y attendre, une loi uniforme. Cette loi expérimentale a été démontrée mathématiquement pour diverses suites numériques, et a été vérifiée expérimentalement sur d’immenses corpus numériques. Sur ces données naturelles, la loi de Benford apparaît très souvent comme une bonne approximation de la réalité, mais il semble aussi qu’elle ne soit qu’une approximation. Nous proposons une nouvelle explication de la loi de Benford, qui ne devrait pas, à notre avis, être considérée comme paradoxale mathématiquement. Nous énonçons un critère de régularité naturel sur une variable X et nous démontrons que, si ce critière est vérifié, alors X suit « à peu près » la loi de Benford.

According to Benford’s law, the first digit of a random number does not follow a uniform distribution, as many people believe, but a logarithmic distribution. This law was at the begining purely experimental, but it is now established that it holds for various mathematical series and some natural data sets. Concerning data sets, Benford’s law often appears as a good approximation of the reality, but as no more than an approximation. Our aim is to present a new explanation for this law. We argue that it should not be considered as a mathematical paradox, but as a purely psychological paradox, a result of a cognitive bias. We express a general criterion of regularity on a random variable X and prove that, whenever X follow this criterion, X is approximately Benford.