10 août 2011
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Frederic Brechenmacher, « Autour de pratiques algébriques de Poincaré : héritages de la réduction de Jordan », HAL-SHS : histoire, philosophie et sociologie des sciences et des techniques, ID : 10670/1.30i7ho
Cet article propose un regard transversal sur les travaux menés par Poincaré entre 1878 et 1885. L'étude est amorcée à partir de la courte note "Sur les nombres complexes" publiée en 1884. Cette note permet de problématiser les cloisonnements disciplinaires rétrospectifs selon lesquels ont souvent été décrits les travaux de Poincaré. La note a en effet été présentée comme le point d'origine de la reconnaissance du rôle joué par l'algèbre des matrices dans les théories des algèbres associatives et de Lie, ouvrant ainsi la voie aux développements de relations entre ces deux théories et à de premiers résultats sur leurs structures. Nous montrons cependant que cette note n'est pas sous-tendue par une notion ou une théorie mais par une pratique algébrique de classification de groupes linéaires par réduction canonique (dite de Jordan) de leurs substitutions. Cette pratique algébrique s'avère jouer un rôle transversal dans les travaux de Poincaré. Nous questionnons les innovations individuelles qu'elle manifeste au regard de différentes échelles collectives. Nous analysons notamment l'appropriation par Poincaré des travaux de Jordan sur les groupes linéaires au prisme de l'héritage d'Hermite sur la réduction des formes algébriques. Cet héritage mêlé irrigue l'ensemble des travaux de Poincaré entre 1878 et 1885. Il est non seulement au coeur du développement de la célèbre théorie des fonctions fuchsiennes mais aussi de travaux sur la théorie algébrique des formes. Ces derniers n'ont été que très peu commentés jusqu'à présent. Ils ont pourtant joué un rôle clé dans l'attribution par Poincaré d'une place centrale à la notion de groupe. En amont des travaux de Poincaré, l'article étudie aussi les circonstances de l'énoncé du théorème de la réduction canonique par Jordan ainsi que la réception de ce résultat. En aval, nous évoquons le rôle des travaux de Poincaré pour la transmission d'un héritage jordano-hermitien dans les procédés du calcul des Tableaux tels que les développent au début du XXe siècle des mathématiciens comme Autonne ou Châtelet.