Hilbert et l'Aufbau simultané de l'arithmétique et de la logique. Une lecture phénoménologique

Résumé En

J'examine dans cet article le projet hilbertien d’un « Aufbau simultané de l’arithmétique et de la logique » qui fut, au début du XXe siècle, le point de départ de ce qui allait devenir, dans les années vingt, la théorie de la démonstration. On a pu considérer que cette idée d’une construction simultanée allait à l’encontre de tout projet de fondation philosophique, puisque l’autofondation des mathématiques permettait de transférer les problèmes de fondements de la sphère philosophique à celle de la mathématique. En analysant l’interprétation proposée par Dietrich Mahnke de la construction hilbertienne dans les années vingt, on montre que ce transfert n’a pas liquidé le problème philosophique de la fondation des mathématiques, mais qu’il a permis précisément à la théorie de la connaissance de prendre clairement conscience de la tâche qui était la sienne : non pas construire des théories et déduire des théorèmes, mais élucider (aufklären) le sens de la méthode axiomatique et la nature de ses objets, en pratiquant des analyses constitutives. Ainsi pratiquées, ces analyses constitutives, guidées par l’architectonique du monde dégagée par les analyses eidétiques, devaient s’intégrer au vaste projet husserlien de reconstruction (Neubau) d’une culture scientifique en Allemagne.