De l'électromagnétisme à la mécanique : Le rôle de l'action dans le Mémoire de Poincaré de 1905

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Nous proposons une étude systématique du rôle de l’action et de son invariance dans la logique du Mémoire de Palerme, ce qui conduit à porter un regard nouveau sur ce Mémoire et sur la contribution de Henri Poincaré mathématicien à la mécanique relativiste. Après avoir rappelé comment le principe de moindre action s’est étendu hors du champ de la mécanique à la fin du xixe siècle, et examiné l’origine de l’action électromagnétique du Mémoire, nous analysons comment l’invariance de l’action (électromagnétique ou non) est associée par Poincaré à la dépendance en vitesse du lagrangien d’un électron étendu, pourvu qu’il soit stable et décrit par ses seules variables de position. Avec la condition de groupe l = 1(dont nous discutons aussi l’origine), cette invariance assure le caractère relativiste de l’équation de la dynamique de Lorentz indépendamment des modèles d’électrons, dès lors réduits au rôle d’exemples (ou de contre-exemples). Finalement l’action a été l’outil utilisé par Poincaré pour transférer à la mécanique la symétrie qu’il vient de découvrir en électromagnétisme et obtenir (avant Max Planck) l’expression du lagrangien relativiste. L’absence dans le Mémoire de l’équivalence générale masse-énergie est également discutée.

We make a systematic and extensive study of the role of action and its invariance in the logic of the Palermo Memoir. This sheds a new light on the Memoir and on the mathematical contribution of Henri Poincaré to relativistic mechanics. After a brief account of the history of the Least Action Principle in the late 19th century, we examine the origin of Poincaré’s Hamiltonian electromagnetic action. We exhibit how the invariance of the action (whatever it is, electromagnetic or not) is related by him to the velocity dependence of an electron lagrangian, provided the electron is stable and characterized by its position variables. With the group condition l = 1(whose origin is also discussed), this invariance ensures the covariance of the Lorentz equation of the dynamics independently of electron models (which play the role of example or counter-example). Finally, the concept of action is the tool which had enabled Poincaré to transfer to mechanics the symmetry he had just discovered in electromagnetism, and to obtain (before Max Planck) the relativistic lagrangian. We discuss the reasons why it did not lead him to the discovery of the general mass-energy equivalence.