Interpreting effectivity : the birth of the notion in Emile Borel Penser l'effectivité : naissance de la notion chez Emile Borel En Fr

Résumé En Fr

The object of the thesis is to apprehend the naive notion of effectivity before its historical transformation into recursion (from Hilbert-1917 to the Church-Turing thesis (CTt)-1936/37). From a historical point of view, I studied the use of effectivity at the end of the 19th century in order to isolate a definition in accordance with the vision of mathematicians of that time. In fact, I centered the study on Borel who, outside the "official" debate on the foundations of mathematics, made a great deal of effectivity, extending it to actual countable infinite sets. From the epistemological point of view, I used phenomenological tools to draw a framework in which to define this informal notion which, around 1900, was not predetermined to become a formal concept. But while I designed this framework abstracting from the historical process leading to CTt, I used it to illuminate this process and capture certain characteristics of it. My conclusions: 1- effectivity can be seen as a cognitive gesture emanating from the system of perception (-action) of the physical world, over-guaranteeing proof insofar as this gesture is never paradoxical. 2- The CTt, by "exteriorizing" this gesture, freed mathematics from the implicit cognitive constraints linked to the physical world, 3- But physical thought and mathematical thought were not entirely separated: if the CTt evacuated the physical gesture, by an epistemological reversal it has become a "robust" argument for computer scientists and physicists according to which the physical world carries out an informational calculation. And this assumption lacks robustness because there is no unitary physical definition of the concept of information.

L’objet de la thèse est d'appréhender la notion naïve d'effectivité avant sa transformation historique en récursivité (de Hilbert-1917 à la thèse de Church-Turing (tCT)-1936/37). Du point de vue historique j’ai étudié l'usage del'effectivité à la fin du 19e siècle afin d'en isoler une définition en accord avec la vision des mathématiciens de cette époque. De fait, j'ai centré l'étude sur Borel qui, hors du débat "officiel" sur les fondements des mathématiques, a fait grand cas de l'effectivité, l'étendant aux ensembles infinis dénombrables actuels. Du point de vue épistémologique, je me suis servi d’outils phénoménologiques pour tracer un cadre où définir cette notion informelle qui, autour de 1900, n'était pas prédéterminée à devenir un concept formel. Mais si j’ai conçu ce cadre en faisant abstraction du processus historique aboutissant à la tCT, je l'ai utilisé pour éclairer ce processus et en saisir certaines caractéristiques. Mes conclusions : 1- l’effectivité peut être vue comme un geste cognitif émanant du système de perception(-action) du monde physique, sur-garantissant une preuve dans la mesure où cette de gestuelle n'est jamais paradoxale. 2- La tCT, en "extériorisant" cette gestuelle, a libéré les mathématiques des contraintes cognitives implicites liées au monde physique, 3- Mais la pensée physique et la pensée mathématique n'ont pas été entièrement séparées: si la tCT a évacué la gestuelle physique, par un retournement épistémologique elle est devenue un argument "robuste" pour informaticiens et physicien selon lequel le monde physique réalise un calcul informationnel. Et cette hypothèse manque de robustesse car il n'y a pas de définition physique unitaire du concept d'information.