Mario Pieri’s View of the Symbiotic Relationship between the Foundations and the Teaching of Elementary Geometry in the Context of the Early Twentieth Century Proposals for Pedagogical Reform

Résumé Fr En

Dans cet article nous discutons les enjeux des essais de réforme de l’enseignement de la géométrie élémentaire au tournant du xixe siècle en examinant la contribution de Mario Pieri, membre distingué des entourages de Peano et Segre à Turin. Le rapport symbiotique entre axiomatique et pédagogie et le rôle de l’intuition dans l’apprentissage sont deux aspects majeurs à cet égard. La notion d’intuition a été l’objet d’un grand nombre d’analyses qui ont une longue histoire, de la part de philosophes, mathématiciens, didacticiens des mathématiques, psychologues, historiens. Pour établir le contexte de la réflexion de Pieri, on cherche tout simplement à offrir un bref aperçu de quelques idées au sujet de son rôle pédagogique, dans l’instruction élémentaire et jusqu’à celle universitaire, qui peuvent avoir façonné les efforts pur l’amélioration de l’enseignement de la géométrie au secondaire au début du xxe siècle. Pieri prend en compte la question de l’intuition dans plusieurs parmi ses travaux d’axiomatisation, et notamment dans ceux qui sont consacrés à la géométrie projective qui a été son intérêt principal du point de vue des fondements des mathématiques. On considère ici cependant surtout ses systèmes axiomatiques pour la géométrie élémentaire, où il adopte l’approche basée sur les transformations géométriques de Felix Klein. Notre objectif est de représenter la pensée de Pieri sur la façon d’intégrer deux types d’intuition, dites sensible et rationnelle, dans les démarches pour l’amélioration de l’enseignement de la géométrie d’Euclide. Nous montrons comment les vues de Pieri sur l’intuition géométrique et la réforme pédagogique ont été soit ignorées, soit déformées dans plusieurs publications notables au tournant du xxe siècle. En particulier, nous donnons à Pieri une voix en réponse aux commentaires spécifiques formulés au début des années 1900 par Federigo Enriques, Ugo Amaldi et Florian Cajori dans des publications largement diffusées inspirées de Klein.

In this paper, we discuss a proposal for reform in the teaching of Euclidean geometry that reveals the symbiotic relationship between axiomatics and pedagogy. We examine the role of intuition in this kind of reform, as expressed by Mario Pieri, a prominent member of the Schools of Peano and Segre at the University of Turin. We are well aware of the centuries of attention paid to the notion of intuition by mathematicians, mathematics educators, philosophers, psychologists, historians, and others. To set a context for Pieri’s proposal, we only seek to open a small window on views of the pedagogical role of intuition, from primary education to university study that may have informed early 20th century efforts to improve the teaching of geometry at the secondary school level. Pieri addressed the topic of intuition in many of his axiomatizations, including those in projective geometry which was his main area of concentration in foundations. We focus here primarily on his axiom systems for elementary geometry, which embraced the transformational approach of Felix Klein’s vision for the subject. Our goal is to convey Pieri’s thoughts on how to integrate two types of intuition, denoted as sensible and rational, in his endeavors to improve the teaching of the geometry of Euclid. We show how Pieri’s views on geometric intuition and pedagogical reform were either ignored or misrepresented in several notable publications at the turn of the 20th century. In particular, we give Pieri a voice in response to specific comments made in the early 1900s by Federigo Enriques, Ugo Amaldi, and Florian Cajori in widely circulated publications inspired by Klein.