29 septembre 2023
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Julien Fixary, « Nouveaux résultats concernant les équilibres de Nash et les réseaux stables par paires dans le cas semi-algébrique : nombre, structure et dynamiques », HAL-SHS : sociologie, ID : 10670/1.cdy3a5
Chapitre 1 : nous commençons par étudier la structure du graphe des réseaux stables par paires associé à tout ensemble A-régulier de sociétés. Nous montrons qu'il est homéomorphe à ce même-ensemble de sociétés, par un homéomorphisme qui est proprement homotopique à une projection. Ensuite, nous considérons certains ensembles A-réguliers de sociétés que nous appelons A-s.a. réguliers. Nous démontrons que génériquement, toute société appartenant à un ensemble A-s.a. régulier de sociétés admet un nombre impair de réseaux stables par paires. Chapitre 2 : nous transposons le vocabulaire du premier à la théorie des jeux, et nous généralisons nos résultats. Tout d'abord, nous obtenons une légère amélioration du théorème de Predtetchinski (2009) en considérant des ensembles A-réguliers de jeux. De plus, nous considérons une régularité moins forte que la régularité A-s.a. : la régularité fortement dim(L)-s.a. Avec ces ensembles, nous améliorons le théorème de Wilson (1971) en démontrant la généricité de l'imparité du nombre d'équilibres de Nash, pour tout jeu dans n'importe quel ensemble dim(L)-fortement s.a. régulier de jeux. Chapitre 3 : nous approfondissons l'analyse faite dans le premier chapitre. Nous montrons que le graphe des réseaux stables par paires associé à tout ensemble A-régulier V de sociétés n'a pas de nœuds. Ensuite, nous introduisons la notion de dynamique de réseaux (analogue à celle de champ de Nash en théorie des jeux). Finalement, nous utilisons notre précédent résultat afin de montrer que n'importe quelles dynamiques de réseaux D et D' sur un ensemble A-régulier V arbitraire sont homotopes au sein même de l'ensemble de toutes les dynamiques de réseaux sur V.