Existence d'un équilibre de Nash dans un jeu discontinu

Résumé En Fr

In this paper, we present a more simple and independent proof of Reny's theorem (1998), on the existence of a Nash equilibrium in discontinue game, with a better-reply secure game in a Hausdorff topological vector space stronger than Reny's one. We will get the equivalence if the payoff function is upper semi-contineous like in the second Reny's exemple. Our proof is based on a new version of the existence of maximal element of Fan-Browder given by Deguire and Lassonde (1995). Reny's proof used a lemma of approximation of payoff function by a continuous sequence and show the existence of Nash equilibrium by the existence of equilibrium in mixed strategy proved in continuous game by the classical result.

Nous présentons une preuve plus simple et indépendante du théorème 3.1 de Reny [1] qui montre l'existence d'un équilibre de Nash dans un jeu discontinu et dans un espace vectoriel topologique séparé. On utilise une hypothèse de meilleure réponse sécurisée plus forte que celle de Reny, mais qui coincide si la fonction de paiement est semi-continue supérieurement comme dans le deuxième exemple de Reny [1]. Notre preuve est basée sur une version du théorème de Fan-Browder d'existence d'élément maximal du à Deguire et Lassonde [2], tandis que Reny a utilisé une approximation de la fonction de paiement discontinue par une suite de fonctions continues (voir lemme 3.5[1]). Reny montre l'existence d'un équilibre de Nash à l'aide d'une suite d'équilibres en stratégie mixte obtenus dans le cas continu par les résultats classiques.