Gauss-Bonnet theorem for surfaces : towards an intrinsic philosophy of mathematics (Part I) Théorème de Gauss-Bonnet pour les surfaces : vers une philosophie intrinsèque de la géométrie différentielle (Partie I) En Fr

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À juste titre, Hegel et Schopenhauer ont critiqué sévèrement les diverses démonstrations du théorème A + B + C = π d'Euclide, leur adressant le reproche d'introduire de façon arbitraire des artifices de tracé qui conduisent le philosophe spéculatif à un sentiment de malaise en présence de « tours d'escamotage » au cours desquels la vérité « s'introduit par la petite porte dérobée ». En élaborant des analyses philosophiques motivées et conceptuellement génétiques qui seront internes à la contexture métaphysique même de la pensée mathématique -- trop souvent oblitérée par des pratiques réductrices --, nous argumenterons au contraire que la vérité « entre par la grande porte » dans les théories mathématiques, et ce, en nous référant au développement ultime du théorème d'Euclide, l'un des plus importants de toute la géométrie différentielle contemporaine, à savoir le Théorème de Gauss-Bonnet, emblème paradigmatique d'une liaison, au sens lautmanien du terme, entre Topologie et Géométrie. Effectivement, l'énoncé du Théorème de Gauss-Bonnet fait surgir une forme inattendue de réflexivité -- concept majeur et universel de philosophie des mathématiques --, de sorte que la géométrie se contemple elle-même, atteignant une double polarité intuitive en elle-même. C'est donc le concept révolutionnaire et protéiforme de courbure gaussienne qui déclenche une conceptualité nouvelle au-dessus de la géométrie euclidienne. Ici, l'égalité entre intégrale de courbure totale et caractéristique d'Euler indique qu'un concept de nature topologique est égal à un nombre qui exprime un concept de nature géométrique. Ceci démontre encore que les mathématiques se développent par intervention de disciplines différentes les unes sur les autres, comme outils d'observation, structuration formelle, nouveaux points de vue unificateurs. Grâce aux trajectoires multiples que permet l'architecture mobile des mathématiques, nous disposons toujours d'une démultiplication des significations des concepts mathématiques. Toute une force d'embrassement des êtres rationnels est à l'œuvre dans les mathématiques, qui expriment et réalisent un désir continué de puissance synthétique. La conceptualisation est certes une première force d'embrassement, mais les êtres, toujours, s'y soustraient, en partie, car le concept, en mathématiques, n'est souvent qu'une vue partielle, d'autres sous-concepts demeurant non-vus, d'autres aspects intrinsèques demeurant non-conceptualisés. Seules les synthèses complètes telles que le Théorème de Gauss-Bonnet embrassent réellement les êtres mathématiques. Cette force d'entraînement hors de soi que manifeste la pensée mathématique dans sa puissance d'expansion est ici propulsée à travers cette unité grâce aux multiples ressorts de la topologie et de la géométrie. Ainsi, la question des fondements de la géométrie (euclidienne) se trouve-t-elle entièrement transformée dans les nouveaux cadres théoriques de la géométrie différentielle, fondée par le moyen de ses extensions synthétiques, qui en sont autant d'accroissements de connaissances.