IMPOSSIBILITY RESULTS: FROM GEOMETRY TO ANALYSIS: A study in early modern conceptions of impossibility RESULTATS D'IMPOSSIBILITE: DE LA GEOMETRIE A L'ANALYSE: Une étude de résultats classiques d’impossibilité En Fr

Résumé En Fr

This dissertation deals with impossibility results in the context of early modern geometry (XVIIth century). The main problems and questions I shall address in my study are the following. How did early modern geometers prove (or argued for) the impossibilities of solving construction problems by prescribed means? Can we identify similar structures and similar roles in different instances of these impossibility arguments? My starting point is one of the first examples of algebraic thinking in geometry, namely, Descartes’ epoch-making « La Géométrie » (1637). My examination of « La Géométrie » mainly concerns the methodological points of this treatise: the foundations of the distinction between geometrical and mechanical curves, and the classification of curves and problems. A general thesis I advance in my work is that conditional impossibility claims exerted a twofold methodological, or metatheoretical role. Firstly, they contribute to frame the demarcation between acceptable and non acceptable curves. Secondly, conditional impossibility claims enter in the classification of problems on the ground of the curves which construct them, sketched in the third Book of « La Géométrie » and commented by Van Schooten in his latin editions from 1649 and 1659. The presence of impossibility claims in a treatise, like Descartes’ « Géométrie », devoted to lay down the fundamentals of a method to solve all problems of geometry, is not surprising, in so far such a method should provide the guidelines in order to solve each problem according to the most adequate means. An interesting sketch of a classification into possible and impossible problems can be found in Descartes’ correspondence with Mersenne. In particular, the circle-squaring problem is considered by Descartes an « impossible problem ». More generally, the circle-squaring problem stood as an intriguing problem in the context of XVIth and XVIIth century research: it was not only a difficult mathematical question, but it had an important metatheoretical role, I surmise. Indeed decisions about its solvability in principle would contribute to frame the subject matter of geometry, by demarcating legitimate from illegitimate solving methods, as in the outstanding attempt led by Descartes in « La Géométrie ».Furthermore, in the second half of XVIIth century, arguments asserting that the quadrature problem could not be solved by algebraic method would be invoked in order to demarcate finite from infinitesimal analysis. I investigate in this work some fragments of two mathematical works in detail: James Gregory’s work « Vera circuli et hyperbolae quadratura » (1667), and G. W. Leibniz’s « De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae cujus corollarium est trigonometria sine tabulis » (1676). In this second part of my work, I argue the general thesis that impossibility claims concerning the circle-squaring problem acquires a new status in the second half of XVIIth century. In order to explain this claim, I detail a critical examination of James Gregory’s work « Vera circuli et hyperbolae quadratura ». In this text, in fact, Gregory sets out to search for a way to reduce the problem of squaring any sector of a central conic (the circle, the ellipse and the hyperbola), to an algebraic equation, and comes up with an argument in order to prove that the impossibility of this endeavor. Gregory’s argument is faulty and was heavily criticized by his contemporaries, but it shows an uncommon insight, for his time, into impossibility results. Moreover, Gregory’s thesis on the impossibility of finding an algebraic quadrature of the central conic sections are historically relevant because they exerted, through a subsequent controversy with Christiaan Huygens, a deep influence on Leibniz’s mathematics.The chapter 8 of my dissertation is indeed dedicated to Leibniz’s lenghty treatise « De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae », composed and ultimated during Leibniz’s stay in Paris. Although the treatise circulated, under different versions, among Leibniz friends and colleagues mathematicians from 1674, and historical evidence shows that Leibniz had a manuscript ready for publication in the year 1676, this document got lost, and the treatise never saw the publication in Leibniz’s lifetime. My interest for the « De quadratura arithmetica » will be mainly directed towards the the concluding proposition LI, considered by Leibniz as the ‘crowning’ of his treatise: a theorem on the impossibility of squaring the circle, the ellipse and the hyperbola. Leibniz allegedly proves, by an indirect argument, that there is no quadrature of the central conic sections (namely, the circle, the ellipse and the hyperbola) that is more geometrical than his own. Since the solution presented in the « De quadratura arithmetica » is obtained through an infinite series, the above claim amounts to saying that the solution to the quadrature of the circle, the ellipse and the hyperbola cannot be obtained by a finite algebraic equation. In chapter 8 I examine in detail the influence of the controversy between Gregory and Huygens over the genesis, the conception and certain results presented in Leibniz’s « De Quadratura Arithmetica ». I then discuss the mathematical and methodological meaning of Leibniz’s impossibility result, and I argue that Gregory’s « Vera Circuli et hyperbolae quadratura » played a dependable rôle concerning the function of Leibniz’s impossibility argument within the organization of the treatise on the arithmetical quadrature of the circle and the conic sections.Finally, in a concluding chapter, I respond to the questions raised in the beginning by assessing the function of impossibility results in the context of XVIIth century mathematics and, more particularly, with respect to the case studies discussed in this dissertation. On this concern, I assess these case studies both with respect to today extrathereotical impossibility theorems, and with respect to the metatheoretical claims of antiquity. 

Cette dissertation a pour thème l'étude des résultats d'impossibilité dans le contexte de la géométrie classique (XVIIème siècle). Dans cette étude, J'adresserai les questions suivantes. Comment les géomètres classiques ont démontré (ou argumenté pour) l'impossibilité de résoudre certains problèmes par des moyens donnés ? Peut-on identifier des structures et rôles similaires dans des différentes instances de ces arguments d'impossibilité ?Mon point de départ est un des premiers examples de pensée algébrique en géométrie, c'est à dire le marquant traité « La Géométrie » De Descartes. Mon examen de cette œuvre concernera des points méthodologiques, tels que les fondements de la distinction entre courbes géométriques et mécaniques, ainsi que la classification des courbes et de problèmes. Dans mont travail, j'avancerai la suivante thèse générale : les résultats conditionnels d'impossibilité exercent un double rôle méthodologique. Premièrement, ils servent à démarquer les courbes acceptables des courbes non acceptables. Deuxièmement, ils entrent dans la classification des problèmes sur la base des courbes qui entrent dans leur construction, proposée par Descartes dans le troisième livre de « La Géométrie », et commentée par Van Schooten dans ses éditions en latin de 1649 et 1659.La présence de résultats d'impossibilité dans un traité, tel que que « La Géométrie », dédiée aux fondements d'une méthode pour résoudre tous les problèmes de géométrie, n'est pas surprenante, car une telle méthode devrait offrir les règles générales pour résoudre chaque problème selon les moyens les plus adéquats.Un autre, intéressant ébauche d'une classification de problèmes entre « possibles » et « impossibles » peut être trouvé dans la correspondance entre Descartes et Mersenne. En particulier, le problème de la quadrature du cercle est conçu par Descartes comme une instance de « problème impossible ». Plus en général, le problème de la quadrature du cercle représentait un problème fort intéressant dans le contexte de la recherche aux XVIème et XVIIème siècles. Non seulement il s'agissait d'un problème difficile, mais il avait un rôle métathéorique (ou méthodologique) important, car il pouvait être invoqué afin de distinguer les méthodes légitimes en géométrie des méthodes illégitimes.D'autant plus, pendant la seconde moitié du siècle 17, plusieurs mathématiciens invoquaient l'impossibilité de résoudre ce même problème par des moyens algébriques, afin de démarquer les territoires de l'analyse finie (ou algébrique) de ceux de l'analyse infinitésimale.Dans une deuxième partie de ce travail, j'examinerai en détail certains morceaux des deux œuvres  suivantes: « Vera circuli et hyperbolae quadratura » (1667), de James Gregory, et « De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae cujus corollarium est trigonometria sine tabulis » (1676) écrit par G. W. Leibniz.J'avancerai la thèse que les résultats d'impossibilité à propos du problème de la quadrature du cercle acquiert un statut nouveau pendant la deuxième moitié du XVIIème siècle.Afin d'expliquer mieux cette thèse, je ferai une étude critique du travail « Vera circuli et hyperbolae quadratura » écrit par James Gregory. Dans ce texte, en fait, Gregory propose de rechercher des manières de réduire le problème de la quadrature du cercle, et des autres sections coniques à centre (l'ellipse et l'hyperbole) à une équation algébrique, et aboutit avec un argument pour démontrer l'impossibilité de cette démarche. L'argument de Gregory est fallacieux, et il a été assez critiqué par ses contemporains. Pourtant, il montre une compréhension peu commune, pour son temps, du rôle et de l'importance des résultats d'impossibilité. En plus, la thèse de Gregory autour de l'impossibilité de trouver une quadrature algébrique des sections coniques à centre est historiquement de relief, car elle a influencé, à travers une controverse successive avec Huygens, une influence profonde sur les mathématiques Leibniziennes.Le chapitre 8 de ma dissertation est en effet dédié au long traité leibnizien : « De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae », composé et terminé parmi son séjour parisien. Bien que le traité circulait, en plusieurs versions différentes, parmi les amiset les collègues de Leibniz à partir de 1674, et bien que les évidences historiques montrent que Leibniz possédait un manuscrit prêt pour la publication déjà en 1676, ce document a été perdu, et le traité n'a jamais été publié pendant que Leibniz était encore en vie. Mon intérêt pour la « De quadratura arithmetica » sera adressé principalement à la proposition LI du traité, considérée par Leibniz son véritable « couronnement » : il s'agit d'un théorème dédié à l'impossibilité de trouver une quadrature algébrique du cercle, de l'hyperbole et de l'ellipse. Leibniz a supposément prouvé, par le moyen d'un argument indirect qu'il n'y a pas de quadrature des sections coniques à centre plus géométrique que la sienne. Comme la solution présenté dans le « De quadratura arithmetica » est obtenue par une série infinie, cela revient à dire que la solution à la quadrature du cercle, de l'ellipse et de l'hyperbole ne peut pas être obtenue par une équation algébrique finie.Dans le chapitre 8, j'examinerai dans le détail l'influence que la controverse entre Gregory et Huygens a exercé sur la genèse, la conception et sur certains résultats présents dans le « De Quadratura Arithmetica » de Leibniz. Je discuterai ensuite la signification mathématique et méthodologique des résultats d'impossibilité Leibnizien, et j'avancerai la thèse d'après laquelle le « Vera Circuli et hyperbolae quadratura » de Gregory a joué un rôle de relief par rapport à la fonction du théorème (ou « pseudo-théorème ») d 'impossibilité formulé par Leibniz dans l'organisation de son traité sur la quadrature arithmétique du cercle et des autres sections coniques. Finalement, dans un chapitre conclusif, je répondrai aux questions avancées au début en déterminant le poids et la fonction des résultats d'impossibilité dans le contexte des mathématiques du XVIIème siècle et, plus particulièrement, par rapport aux cas d'étude discutés dans cette dissertation. A cet égard, j'évaluerai ces cas d'étude par rapport aux résultats d'impossibilité d'aujourd'hui et par rapport à ceux formulés déjà dans l'antiquité.