Los teoremas de incompletitud de Gödel, teoría de conjuntos y el programa de David Hilbert

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KurtGödel demostró en 1931, que para todo sistema formal Z recursivo lo suficientemente potente como para derivar los axiomas de Pea­no y que además se suponga como consistente, se tiene que en el sistema hay proposiciones indecidibles, es decir, el sistema no es completo. Por otra parte, Gödel probó que si el sistema Z es consistente entonces no se puede derivar en Z una proposición que afirme la consistencia de Z. Estos resul­tados son los que se conocen como Primer Teorema de Incompletitud Gödely Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel. Dichos resultados tienen un gran impacto sobre la investigación de los fundamentos de la matemática que venía gestándose en los primeros treinta años del siglo pasado, y tiene ade­más consecuencias sobre la filosofía de la matemática de dicha época. Este artículo se encuentra estructurado en tres partes: En una primera parte nos ocupamos de la formulación de los Teoremas de incompletitud y las ideas princi­pales de su demostración en cada caso. Seguidamente mostraremos una apli­cación del Segundo Teorema de Incompletituden la teoría de conjuntos referente a los cardinales inaccesibles. Por último, desarrollaremos las consecuencias filosóficas que los Teoremas de incompletitud de Gödeltienen sobre el proyecto meta-matemático de David Hilbert.