‪Axioms as Definitions: Revisiting Poincaré and Hilbert‪

Résumé Fr En

Un problème fondamental dans la réflexion sur les fondements des mathématiques consiste à déterminer ce qu’est un axiome. Cette question est spécialement importante en vue de l’étude de nouveaux axiomes pour la théorie des ensembles (tels que les axiomes de grands cardinaux) dont la légitimité est fortement controversée ; cet article s’insère dans le débat. En analysant les écrits de Poincaré et de Hilbert, nous observons que, malgré les différences profondes dans la pensée de ces deux logiciens, ils parvinrent à la même conception des axiomes de la géométrie qui ne seraient que des définitions déguisées. Nous généralisons cette conception des axiomes comme définitions de concepts à n’importe quel système axiomatique (en particulier aux axiomes de la théorie des ensembles).

‪A fondamental problem in the discussion on the foundations of mathematics is to clarify what an axiom is. This is especially important in the light of the most recent advances in set theory where new axioms have been proposed whose legitimacy is highly controversial (for example, large cardinal axioms); this paper is a contribution to this discussion. By analysing the view of Poincaré and Hilbert on axioms, we observe that, despite the deep differences in their philosophical thinking, the two logicians came to the same conception of the axioms of geometry as ‪ ‪definitions‪‪ in disguise. We revisit and generalise this view by arguing that ‪ ‪any‪‪ axiomatic system (set theory in particular) is the definition of some concepts. ‪