Deux moments dans l'histoire du Théorème d'algèbre de Ch. F. Sturm

Résumé En Fr

At the outset (1829), Ch. F. Sturm's theorem of algebra provided an algorithm for counting the number of roots of a polynomial which lie within an interval of real numbers. Generalized by A. Tarski during the 1930s, this theorem became a decision algorithm for the first-order theory in logic of the ordered field of the real numbers. In the following article, I consider these two events : the origins of Sturm's theorem, which lay in J. Fourier's similar theorem ; and the transformation of Sturm's theorem by Tarski, which displayed its logical significance and, in this way, ushered in the revival to which this theorem still owes its actuality. From the viewpoint that I take in this study, I take up various general questions : about exchanging algebra and analysis : about definitions in terms of necessary and sufficient conditions ; about the algebraic nature of methods ; about the effectivity of procedures (meaning whatever enables procedures such as finitely recursive procedures to be carried out in a finite number of steps) ; and about the notion of algorithm.

Au départ (1829), le théorème d'algèbre de Ch. F. Sturm fournit un algorithme pour compter le nombre de racines d'un polynôme sur un intervalle réel. Généralisé par A. Tarski (dans les années 1930), il devient un algorithme de décision pour la théorie logique du premier ordre du corps ordonné des nombres réels. L'article suivant considère ces deux moments : la naissance du théorème de Sturm à partir du théorème analogue de J. Fourier ; sa transformation par Tarski qui en révèle la portée logique et inaugure ainsi le renouvellement auquel ce théorème doit encore son actualité. Diverses questions générales sont abordées par le biais de cette étude : sur les échanges entre Algèbre et Analyse, sur les définitions par conditions nécessaires et suffisantes, sur la nature algébrique des méthodes, sur l'effectivité des procédures, sur la notion d'algorithme.