Le problème d’arithmé-tique a toujours été un instrument didactique privilégié pour ensei- gner les mathématiques, mais ses usages ont considérablement varié depuis la fin du XIXe. L’examen des fonctions qui lui sont attribuées dans les plans d’étude des réformes ou dans les discours pédagogiques constitue ici un analyseur pour repérer les modèles dominants de l’enseignement des mathématiques. Quatre périodes sont définies: une première, (1887 à 1938), caractérisée par un enseignement magistral fondé sur l’ostension. Pratique, utilitaire et concret, il vise à transmettre au futur citoyen les rudiments du calcul nécessaires à la résolution de problèmes-types directement inspirés par la vie sociale ou domestique. Mais les difficultés dues à ce type d’enseignement conduisent les professeurs à n’enseigner que des solutions-types que l’élève doit mémoriser faute de les conceptualiser. De 1938 à 1970, des contradictions apparaissent entre la volonté officielle, très utilitaire dans ses finalités et dogmatique dans ses méthodes, et les idées des théoriciens de l’éducation nouvelle. Une rupture importante (1970) conduit à la naissance d’un nouveau champ scientifique: la didactique des mathématiques; le problème devient le moyen privilégié de «donner du sens» aux connaissances enseignées. La psychologie cognitive marque fortement les années 80: le traitement de l’information prend le pas sur la construction des connaissances. Ce mouvement se traduit par l’instauration d’un enseignement méthodologique et conduit, paradoxalement, à une sorte de démathématisation de l’enseignement: pour apprendre des mathématiques, il ne s’agit plus de faire résoudre des problèmes à l’élève mais de lui apprendre à les résoudre.
Arithmetic in the teaching of mathematics in primary schools from 1887 to 1990 Arithmetic has always been a favoured didactic instrument to teach mathematics, but its use has varied considerably since the end of the nineteenth century. The examination of the functions which have been given to it in plans for reform or in pedagogical positions is an analyser which enables us to see the dominant models of mathematics teaching. Four periods are defined: the first (1887 to 1938) is characterised by teaching in the form of a lecture founded on ostension. Practical, functional and concrete, it aimed to transmit to the future citizen the basic arithmetic needed to solve standard problems inspired by social or domestic life. But the difficulties due to this type of teaching led teachers to teach only standard solutions that pupils had to learn by heart rather than conceptualise. From 1938 to 1970, contradictions appeared between the official will, very utilitarian in its aims and dogmatic in its methods, and the ideas of the theoreticians of new education. A major break in 1970 led to the birth of a new scientific field: the didactics of mathematics; the problem became the favoured means to give meaning to what was taught. Cognitive psychology left a strong mark on the eighties: the processing of information took over from the construction of knowledge. This movement resulted in the establishment of a methodological form of teaching and led, paradoxically, to a sort of demathematization of teaching: to learn mathematics, it was no longer a question of getting pupils to solve problems but of teaching them to solve them.
Das Problem der Arithmetik im Mathematikunterricht in der Grundschule von 1887 bis 1990 Das Problem der Arithmetik war schon immer eines der bevorzugten didaktischen Mittel im Mathematikunterricht. Seit dem ausgehenden 19. Jahrhundert wurde sie allerdings sehr unterschiedlich unterrichtet. Wenn man die Aufgaben näher untersucht, die ihr in den Studienreformplänen oder in den pädagogischen Verlautbarungen zugeschrieben werden, lassen sich die dominanten Modelle des Mathematikunterrichts erkennen. Vier Perioden werden unterschieden: Die erste (1887-1938) ist geprägt von einem erläuternden Frontalunterricht. Er ist konkret, praxis- und alltagsorientiert und will dem künftigen Bürger die notwendigen Rechengrundlagen vermitteln, um typische Probleme, wie sie im Leben in Gesellschaft und Familie auftauchen, zu lösen. Die Schwierigkeiten dieser Form des Unterrichtens führen allerdings dazu, dass die Lehrer nur typische Lösungsformen unterrichten, die der Schüler auswendig lernen muss, anstatt sie zu konzeptualisieren. Von 1938 bis 1970 treten Widersprüche zutage zwischen dem offiziellen Willen, der in seinen Zielsetzungen utilitaristisch und in seinen Unterrichtsmethoden dogmatisch ist, und den Vorstellungen der Theoretiker der neuen Unterrichtsmethoden. Ein neues wissenschaftliches Feld, die Didaktik des Mathematikunterrichts, entsteht aus diesem scharfen Bruch (1970). Die Problemstellung wird so zum bevorzugten Mittel, um den vermittelten Kenntnissen «Sinn zu geben». Die kognitive Psychologie ist in den 80er Jahren bestimmend: Die Verarbeitung der Information hat Vorrang vor der Vermittlung von Kenntnissen. Diese Entwicklung schlägt sich in einem methodologischen Unterricht wieder und führt paradoxerweise zu einer Art Entmathematisierung des Unterrichts: Um sich mathematische Kenntnisse anzueignen, soll der Schüler nicht länger Probleme lösen, sondern man will ihm beibringen, wie er sie lösen kann.
